Правильно говорить и писать «чайхана». Это слово пришло в русский язык из персидского и образуется от Сha-yeh (чай) и а hane (дом).
Таким образом, мы соединяем два слова и получаем то, что можно перевести на русский как «чайный дом». Писать нужно, как и в оригинале – через букву «а».
Многие лингвисты отмечают, что путаница с произношением сложилась потому, что в нашей стране многие подобные кафе пришли из Средней Азии, где вариант написания «Чайхона».
Несмотря на это, правильнее все же будет говорить и писать именно на персидский манер через «а».